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  1. Energias Potencial e Cinética

    Todo o corpo, ainda que se encontre em repouso, tem "guardada", ou mais propriamente armazenada energia, que se designada por "energia potencial", e que se representa por "Ep".

    Existem três tipo de energia potencial, cuja definição não está considerada no âmbito deste artigo, e que são os seguintes:

    - Gravitacional.
    - Elástica.
    - Química.

    A energia cinética, que, como vimos, representa o trabalho realizado por uma força aplicada a um corpo, e que portanto resulta da transformação da sua energia potencial, é calculada de acordo com a seguinte fórmula:

    “Ec = (m * v2) / 2”

    A grandeza “m” representa a massa do corpo e “v” a velocidade de que o corpo fica animado pela aplicação da força.

    A velocidade do corpo calcula-se de acordo com a seguinte fórmula:

    “v = e/t”, onde "e" representa o espaço e "t" o tempo.

    Assim a equação da energia cinética pode escrever-se da seguinte forma:

    "Ec = (m*e2) / (2*t2)"

    Na figura 2 apresenta-se um exemplo onde estão representadas a "energia potencial" e a "energia cinética".

  2. 2

    Teorema da Energia Cinética

    O “teorema da energia cinética” permite calcular o trabalho realizado pela totalidade das forças que actuam nesse sistema, e é enunciado da seguinte forma:

    “ A totalidade do trabalho produzido por todas as forças que atuam num determinado sistema é calculado pela variação da energia cinética do sistema”.

  4. 3

    Lei da Conservação da Energia

    A “lei da conservação da energia” diz que:

    “Num sistema isolado, isto é, sem sofrer a influência de qualquer fator externo, a quantidade total de energia permanece constante”.

    Esta lei pode apresentar-se da seguinte forma:

    “E = Ep + Ec”, onde “E” representa a “energia total.

    Esta lei traduz a célebre afirmação de Lavoisier.

    "Na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma".

    De acordo com a “Teoria da Relatividade” de Einstein, a energia de um corpo é calculada pela fómula:

    “E = m * c2”, onde “m” representa a massa do corpo e “c” a velocidade da luz (300.000 km/s).

  5. 4

    Sistema de Unidades

    No Sistema Internacional de Unidades (que se representa por SI) as unidades que iremos utilizar neste artigo são as seguintes:

    - “Energia” (símbolo “E”): “joule” (símbolo “J”).
    - "Massa" (símbolo "m"): "quilograma (símbolo: "kg").
    - “Comprimento/Espaço” (símbolo “l/e”): “metro” (símbolo “m”).
    - “Tempo” (símbolo “t”): “segundo” (símbolo “s”).

    Para começar, condiderando que o seus espaço inicial é 0 m, e a velocidade inicial é 0 m/s sua equação horária é :

    V² = Vo² + 2 . a .ΔS
    V² = 0 + 2 a ΔS
    V² = 2.a.ΔS

    Como o espaço foi de 50 m a velocidade média foi 7 m /s , veremos sua aceleração

    (7)² = 2. a. 50
    49 = 100 a
    49 / 100 = a
    a = 0,49 m/s²

    Como estamos falando de um tiro, você acelera constantemente e só pára quando passa dos 50 m. Logo considerarei que você acelerou durante todo o percurso e só desacelerou quando passou dele e não antes.

    Com a aceleração podemos ver a velocidade máxima, através da fórmula:

    V = Vo + at
    Vo = 0 m/s , logo
    V = 0 + at
    V = at

    Como a =0,49 m/s²
    V = 0,49t

    Essa é a sua função horária. Para verificarmos sua velocidade vamos ver segundo por segundo.
    No t = 1s
    V = 0,49. 1
    V = 0,49 m/s

    No t = 2

    V = 0,49 .3
    V = 1,47 m/s

    Logo, tempo 7 s ( antes dos milésimos 0,7)
    V = 0,49 . 7
    V = 3,43 m/s
    Para passar de m/s para km /h multiplicamos por 3,6

    V = 3,43 x 3,6 --> 12,348 km /h

    Km / h = 1000 m / 3600 s
    Km / h = 10 m / 36 s
    Km / h = 1 m / 3,6 s

    Logo de km/h para m/s divide por 3,6, de m/s para Km/h faça o inverso, multiplique

    Força Resultante

    1ª Lei de Newton
    Um corpo em movimento tende a permanecer em movimento e um corpo em repouso tende a permanecer em repouso.
    2ª Lei de Newton

    2ª Lei de Newton vetorial

    3ª Lei de Newton

    Força Peso
    Peso de um corpo

    Força de Atrito
    Força de atrito estático

    Força de atrito dinâmico

    Força Elástica
    Lei de Hooke

    Força Centrípeta
    Força centrípeta

    Trabalho de um força
    Trabalho

    Potência
    Potência média

    Potência intantânea

    Energia
    Energia cinética

    Energia potencial gravitacional

    Energia potencial elástica

    Energia Mecânica

    Impulso e quantidade de movimento
    Impulso

    Quantidade de movimento

    Teorema do impulso

    Conservação da quantidade de movimento

     

    Lei da refração

    Espelhos
    Espelhos planos
    Imagem virtual, direta e de tamanho igual ao objeto.
    Associação de espelhos planos

    Espelhos convexos e lentes convergente
    Imagem virtual, direta e menor que o objeto.
    Equação de Gauss

    Ampliação

    Refração da Luz
    Índice de refração absoluto em um meio

    Lei de Snell-Descartes

    Índice relativo de refração entre dois meios

     

    TERMOMETRIA

    Temperatura

    Chamamos de Termologia a parte da física que estuda os fenômenos relativos ao calor, aquecimento, resfriamento, mudanças de estado físico, mudanças de temperatura, etc.

    Temperatura é a grandeza que caracteriza o estado térmico de um corpo ou sistema.

    Fisicamente o conceito dado a quente e frio é um pouco diferente do que costumamos usar no nosso cotidiano. Podemos definir como quente um corpo que tem suas moléculas agitando-se muito, ou seja, com alta energia cinética. Analogamente, um corpo frio, é aquele que tem baixa agitação das suas moléculas.

    Ao aumentar a temperatura de um corpo ou sistema pode-se dizer que está se aumentando o estado de agitação de suas moléculas.

    Ao tirarmos uma garrafa de água mineral da geladeira ou ao retirar um bolo de um forno, percebemos que após algum tempo, ambas tendem a chegar à temperatura do ambiente. Ou seja, a água "esquenta" e o bolo "esfria". Quando dois corpos ou sistemas atingem o mesma temperatura, dizemos que estes corpos ou sistemas estão em equilíbrio térmico.

    Óptica - Fundamentos

    Luz - Comportamento e princípios

    A luz, ou luz visível como é fisicamente caracterizada, é uma forma de energia radiante. É o agente físico que, atuando nos órgãos visuais, produz a sensação da visão.

    Para saber mais...

    Energia radiante é aquela que se propaga na forma de ondas eletromagnéticas, dentre as quais se pode destacar as ondas de rádio, TV, microondas, raios X, raios gama, radar, raios infravermelho, radiação ultravioleta e luz visível.

    Uma das características das ondas eletromagnéticas é a sua velocidade de propagação, que no vácuo tem o valor de aproximadamente 300 mil quilômetros por segundo, ou seja:

    Podendo ter este valor reduzido em meios diferentes do vácuo, sendo a menor velocidade até hoje medida para tais ondas quando atravessam um composto chamado condensado de Bose-Einstein, comprovada em uma experiência recente.

     

    A luz que percebemos tem como característica sua freqüência que vai da faixa de (vermelho) até (violeta). Esta faixa é a de maior emissão do Sol, por isso os órgãos visuais de todos os seres vivos estão adaptados a ela, e não podem ver além desta, como por exemplo, a radiação ultravioleta e infravermelha.

     

    Divisões da Óptica

    Óptica Física: estuda os fenômenos ópticos que exigem uma teoria sobre a natureza das ondas eletromagnéticas.
    Óptica Geométrica: estuda os fenômenos ópticos em que apresentam interesse as trajetórias seguidas pela luz.  Fundamenta-se na noção de raio de luz e nas leis que regulamentam seu comportamento. O estudo em nível de Ensino Médio restringe-se apenas a esta parte da óptica.

     

    Conceitos básicos

    Raios de luz
    São a representação geométrica da trajetória da luz, indicando sua direção e o sentido da sua propagação. Por exemplo, em uma fonte puntiforme são emitidos infinitos raios de luz, embora apenas alguns deles cheguem a um observador.
    Representa-se um raio de luz por um segmento de reta orientado no sentido da propagação.

    Feixe de luz
    É um conjunto de infinitos raios de luz; um feixe luminoso pode ser:

    • Cônico convergente: os raios de luz convergem para um ponto;

    • Cônico divergente: os raios de luz divergem a partir de um ponto;

    • Cilíndrico paralelo: os raios de luz são paralelos entre si.

     

    Fontes de luz

    Tudo o que pode ser detectado por nossos olhos, e por outros instrumentos de fixação de imagens como câmeras fotográficas, é a luz de corpos luminosos que é refletida de forma difusa pelos corpos que nos cercam.
    Fonte de luz são todos os corpos dos quais se podem receber luz, podendo ser fontes primárias ou secundárias.

    • Fontes primárias: Também chamadas de corpos luminosos, são corpos que emitem luz própria, como por exemplo, o Sol, as estrelas, a chama de uma vela, uma lâmpada acesa,...
    • Fontes secundárias: Também chamadas de corpos iluminados, são os corpos que enviam a luz que recebem de outras fontes, como por exemplo, a Lua, os planetas, as nuvens, os objetos visíveis que não têm luz própria,...

    Quanto às suas dimensões, uma fonte pode ser classificada como:

    • Pontual ou puntiforme: uma fonte sem dimensões consideráveis que emite infinitos raios de luz.

    • Extensa: uma fonte com dimensões consideráveis em relação ao ambiente.
    ELETRODINÂMICA

    Corrente Elétrica

    Ao se estudarem situações onde as partículas eletricamente carregadas deixam de estar em equilíbrio eletrostático passamos à situação onde há deslocamento destas cargas para um determinada direção e em um sentido, este deslocamento é o que chamamos corrente elétrica.

    Estas correntes elétricas são responsáveis pela eletricidade considerada utilizável por nós.

    Normalmente utiliza-se a corrente causada pela movimentação de elétrons em um condutor, mas também é possível haver corrente de íons positivos e negativos (em soluções eletrolíticas ou gases ionizados).

    A corrente elétrica é causada por uma diferença de potencial elétrico (d.d.p./ tensão). E ela é explicada pelo conceito de campo elétrico, ou seja, ao considerar uma carga A positiva e outra B, negativa, então há um campo orientado da carga A para B. Ao ligar-se um fio condutor entre as duas os elétrons livres tendem a se deslocar no sentido da carga positiva, devido ao fato de terem cargas negativas, lembrando que sinais opostos são atraídos.

    Desta forma cria-se uma corrente elétrica no fio, com sentido oposto ao campo elétrico, e este é chamadosentido real da corrente elétrica. Embora seja convencionado que a corrente tenha o mesmo sentido do campo elétrico, o que não altera em nada seus efeitos (com exceção para o fenômeno chamado Efeito Hall), e este é chamado o sentido convencional da corrente.

    Para calcular a intensidade da corrente elétrica (i) na secção transversal de um condutor se considera o módulo da carga que passa por ele em um intervalo de tempo, ou seja:

    Considerando |Q|=n e

    A unidade adotada para a intensidade da corrente no SI é o ampère (A), em homenagem ao físico francês Andre Marie Ampère, e designa coulomb por segundo (C/s).

    Sendo alguns de seus múltiplos:

     

    Continuidade da corrente elétrica

    Para condutores sem dissipação, a intensidade da corrente elétrica é sempre igual, independente de sua secção transversal, esta propriedade é chamada continuidade da corrente elétrica.

    Isto implica que se houver "opções de caminho" em um condutor, como por exemplo, uma bifurcação do fio, a corrente anterior a ela será igual à soma das correntes em cada parte desta bifurcação, ou seja:

    ONDAS

    Classificação das ondas

    Uma onda é um movimento causado por uma perturbação, e esta se propaga através de um meio.

    Um exemplo de onda é tido quando joga-se uma pedra em um lago de águas calmas, onde o impacto causará uma perturbação na água, fazendo com que ondas circulares se propagem pela superfície da água.

    Também existem ondas que não podemos observar a olho nu, como, por exemplo, ondas de rádio, ondas de televisão, ondas ultra-violeta e microondas.

    Além destas, existem alguns tipos de ondas que conhecemos bem, mas que não identificamos normalmente, como a luz e o som.

    Mas o que elas têm em comum é que todas são energias propagadas através de um meio, e este meio não acompanha a propagação.

    Conforme sua natureza as ondas são classificadas em:

    • Ondas Mecânicas: são ondas que necessitam de um meio material para se propagar, ou seja, sua propagação envolve o transporte de energia cinética e potencial e depende da elasticidade do meio. Por isto não é capaz de propagar-se no vácuo. Alguns exemplos são os que acontecem em molas e cordas, sons e em superfícies de líquidos.
    • Ondas Eletromagnéticas: são ondas geradas por cargas elétricas oscilantes e sua propagação não depende do meio em que se encontram, podendo propagar-se no vácuo e em determinados meios materiais. Alguns exemplos são as ondas de rádio, de radar, os raios x e as microondas.

    Todas as ondas eletromagnéticas tem em comum a sua velocidade de propagação no vácuo, próxima a 300000km/s, que é equivalente a 1080000000km/h.

    Por que as ondas do mar quebram?

    Sabendo que as ondas em geral têm como característica fundamental propagar energia sem que haja movimentação no meio, como explica-se o fenômeno de quebra das ondas do mar, causando movimentação de água, próximo à costa?

    Em águas profundas as ondas do mar não transportam matéria, mas ao aproximar-se da costa, há uma brusca diminuição da profundidade onde se encontram, provocando a quebra destas ondas e causando uma movimentação de toda a massa de água e a formação de correntezas.

    Após serem quebradas, as ondas do mar deixam de comportar-se como ondas.

     

    Quanto a direção de propagação as ondas são classificadas como:

    • Unidimensionais: que se propagam em apenas uma direção, como as ondas em cordas e molas esticadas;
    • Bidimensionais: são aquelas que se propagam por uma superfície, como as água em um lago quando se joga uma pedra;
    • Tridimensionais: são capazes de se propagar em todas as dimensões, como a luz e o som.

    Quanto à direção da vibração as ondas podem ser classificadas como:

    • Transversais: são as que são causadas por vibrações perpendiculares à propagação da onda, como, por exemplo, em uma corda:

    • Longitudinais: são ondas causadas por vibrações com mesma direção da propagação, como as ondas sonoras.
    • MHS

      Movimento Periódico e Oscilatório

      No estudo dos movimentos oscilatórios estão fundamentados alguns dos maiores avanços para a ciência, como a primeira medição com precisão da aceleração da gravidade, a comprovação científica da rotação da Terra, além de inúmeros benefícios tecnológicos, como a invenção dos primeiros relógios mecânicos.

       

      Movimento periódico

      Um movimento periódico é caracterizado quando a posição, velocidade e aceleração de um corpo móvel se repetem em intervalos de tempo iguais, como por exemplo, o movimento do ponteiros dos relógios, de um ponto qualquer demarcado em um aro de uma bicicleta que anda com velocidade constante ou até o movimento realizado pelos planetas em torno do Sol.

      Chamamos período do movimento (T) o intervalo de tempo que estes ciclos levam até se repetirem. Assim, ao decorrem-se um número (n) de repetições em um determinado intervalo de tempo (Δt), seu período será dado pela expressão:

      Como n é uma grandeza adimensional, o período tem unidade igual à unidade de tempo. No SI, é medido em segundos (s).

      Além do período, em um movimento periódico, é considerada uma grandeza chamada freqüência (f), que corresponde ao numero de repetições do movimento (n) em um determinado intervalo de tempo (Δt), ou seja:

      Analisando as unidades da relação, a frequência é medida pelo inverso de unidade de tempo, ou seja 1/s que recebe o nome de hertz (Hz) no SI.

      Comparando-se as equações do período e da frequência, podemos definir a relação entre elas como:

    • CALORIMETRIA

      Calor

      Quando colocamos dois corpos com temperaturas diferentes em contato, podemos observar que a temperatura do corpo "mais quente" diminui, e a do corpo "mais frio" aumenta, até o momento em que ambos os corpos apresentem temperatura igual. Esta reação é causada pela passagem de energia térmica do corpo "mais quente" para o corpo "mais frio", a transferência de energia é o que chamamos calor.

      Calor é a transferência de energia térmica entre corpos com temperaturas diferentes.

      A unidade mais utilizada para o calor é caloria (cal), embora sua unidade no SI seja o joule (J). Uma caloria equivale a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de um grama de água pura, sob pressão normal, de 14,5 °C para 15,5 °C.

      A relação entre a caloria e o joule é dada por:

      1 cal = 4,186J

      Partindo daí, podem-se fazer conversões entre as unidades usando regra de três simples.

      Como 1 caloria é uma unidade pequena, utilizamos muito o seu múltiplo, a quilocaloria.

      1 kcal = 10³cal

       

      Calor sensível

      É denominado calor sensível, a quantidade de calor que tem como efeito apenas a alteração da temperatura de um corpo.

      Este fenômeno é regido pela lei física conhecida como Equação Fundamental da Calorimetria, que diz que a quantidade de calor sensível (Q) é igual ao produto de sua massa, da variação da temperatura e de uma constante de proporcionalidade dependente da natureza de cada corpo denominada calor específico.

      Assim:

      Onde:

      Q = quantidade de calor sensível (cal ou J).

      c = calor específico da substância que constitui o corpo (cal/g°C ou J/kg°C).

      m = massa do corpo (g ou kg).

      Δθ = variação de temperatura (°C).

       

      É interessante conhecer alguns valores de calores específicos:

      Substância
      c (cal/g°C)
      Alumínio
      0,219
      Água
      1,000
      Álcool
      0,590
      Cobre
      0,093
      Chumbo
      0,031
      Estanho
      0,055
      Ferro
      0,119
      Gelo
      0,550
      Mercúrio
      0,033
      Ouro
      0,031
      Prata
      0,056
      Vapor d'água
      0,480
      Zinco
      0,093

      Quando:

      Q>0: o corpo ganha calor.

      Q<0: o corpo perde calor.

       

      Exemplo:

      Qual a quantidade de calor sensível necessária para aquecer uma barra de ferro de 2kg de 20°C para 200 °C? Dado: calor específico do ferro = 0,119cal/g°C.

      2 kg = 2000 g

A função de onda determina completamente o estado físico do sistema. Isto significa que, dada a função de onda $psi$ de um sistema no instante $t$, não somente todas as propriedades do sistema naquele instante estão descritas, mas também as propriedades em qualquer instante subseqüente (tudo isso, naturalmente, em termos do conceito de descrição completa admitido pela mecânica quântica). Matematicamente isto quer dizer que a derivada primeira no tempo, $ rac{partial psi}{partial t}$ no instante $t$ é determinada pelo valor de $psi$ no mesmo instante. Como a teoria é linear, essa relação é também linear. Vamos escrevê-la assim:
begin{displaymath} ihbar rac{partial psi}{partial t} = hat{H} psi nd{displaymath} (13)

 

onde $hat{H}$ é um operador linear a ser determinado. A maneira mais direta de descobrir a natureza de $hat{H}$ é impôr que, no limite clássico, as leis de Newton sejam obtidas. Usando argumentos de mecânica avançada mostra-se que $hat{H}$ deve ser o hamiltoniano do sistema, ou seja, a energia escrita em termos dos momento s $p_i$ e das coordenadas $q_i$ do sistema, fazendo-se ainda a substituição
begin{displaymath} p_i = -ihbar rac{partial}{partial q_i} nd{displaymath} (14)

 

A equação (13) é denominada equação de Schrödinger , e desempenha, na mecânica quântica, papel semelhante ao da segunda lei de Newton na mecânica clássica.





Exemplos:
(2) A partícula livre unidimensional:

 

begin{eqnarray*} E & = & rac{p^2}{2m} hat{p} & = & -ihbar rac{part... ...& = & - rac{hbar ^2}{2m} rac{partial ^2 psi}{partial x^2} nd{eqnarray*}

 


 

Equação de Schrödinger completa:

begin{displaymath} ihbar rac{partial psi}{partial t} = - rac{hbar ^2}{2m} rac{partial ^2 psi} {partial x^2} ; . nd{displaymath} (15)

 

(2) A partícula livre tri-dimensional:

 

begin{eqnarray*} E & = & rac{1}{2m}left(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 ight) ... ...) hat{H} psi & = & - rac{hbar ^2}{2m} ec{ abla}^2psi nd{eqnarray*}

 


 

Equação de Schrödinger completa:

begin{displaymath} ihbar rac{partial psi}{partial t} = - rac{hbar ^2}{2m} ec{ abla}^2 psi nd{displaymath} (16)

 

(3) Partícula sobre a ação de um potencial:
Seja $V(x,y,z)$ a energia potencial da partícula. Na mecânica quântica o operador energia potencial, $hat{V}( ec{r})$ é definido por:

 

begin{displaymath} hat{V}( ec{r})psi( ec{r}) quiv V( ec{r})psi( ec{r}) nd{displaymath}

 

ou seja, a ação do operador $hat{V}( ec{r})$ sobre a função $psi( ec{r})$ consiste simplesmente em multiplicá-la pelo número $V( ec{r})$. Exemplo:
Oscilador harmônico unidimensional:

 

begin{eqnarray*} hat{V}(x) psi(x) & = & V(x) psi(x) = rac{1}{2}k x^2 psi... ... - rac{hbar ^2}{2m} ec{ abla ^2}psi + rac{1}{2}k x^2psi nd{eqnarray*}

 


 

Exercícios

1. Sejam $psi_{1}(x)$ e $psi_2(x$, respectivamente, autofunções de $H$, com autovalores $E_1$ e $E_2$. $psi_{i}(x)= psi_{i}(x,t=0)$. Seja$Psi(x, t=0)= a_1 psi_1(x) + a_2 psi_2(x)$. Determinar $Psi(x,t)$ para $t>0$.
Solução:
Temos

begin{displaymath} psi(x,t) = e^{- rac{i}{hbar}hat{H}t}psi(x, t=0) nd{displaymath} (17)

 

 

Portanto,
begin{displaymath} Psi(x,t) = e^{- rac{i}{hbar}hat{H}t}left(a_1 psi_1(x... ...r}E_1t}psi(x,t=0)+ a_2 e^{- rac{i}{hbar}E_2t}psi_2(x,t=0) nd{displaymath} (18)

 

(a) Mostre que, nas condições acima,

 

begin{displaymath} xp{- rac{i}{hbar}hat{H}t}psi_1(x)=xp{- rac{i}{hbar}E_1t}psi_1(x) nd{displaymath}

 

(b) Demonstre a Eq.(17).
(c) As funções $xp{i(k_1x-omega_1 t)}$, $xp{i(k_2x-omega_2 t)}$ e $xp{-i(k_1x+omega_1 t)}$ são soluções estacionárias da equação de Schrödinger de uma partícula livre. Escreva essa equação de Schrödinger e mostre que isso é verdade. A soma das três é uma solução da mesma equação, logo é a função de onda de um estado de partícula livre. Se o sistema se encontra neste estado, quais os valores da energiaque podem ser obtidos numa medida da energia do sistema, e qual é a probabilidade relativa deles. Por que eu estou falando de probabilidades relativas, em vez de em probabilidades simplesmente?




2.A função de onda de uma partícula livre de massa $m$, em movimento ao longo do eixo $x$, é, em $t=0$, dada por

begin{displaymath} psi(x) = left( rac{2alpha}{pi} ight)^{1/4}e^{-alpha x^2} nd{displaymath} (19)

 

 

(a) Verifique se ela está normalizada.
(b)Usando
begin{displaymath} int_{-infty}^{infty}dx e^{-alpha x^2}e^{-ikx} = sqrt{ rac{pi}{alpha}} e^{- rac{k^2}{4alpha}} nd{displaymath} (20)

 

expanda $psi(x)$ (da Eq.19) em autofunções simultâneas do momento e da energia , $xp{ikx}$. Se a expansão for escrita

 

begin{displaymath} left( rac{2alpha}{pi} ight)^{1/4}e^{-alpha x^2}=int_{-infty}^{infty}dk a(k)e^{ikx} nd{displaymath}

 

mostre que

 

begin{displaymath} a(k)= rac{1}{2pi}left( rac{2alpha}{pi} ight)^{1/4}sqrt{ rac{pi}{alpha}} e^{- rac{k^2}{4alpha}} nd{displaymath}

 

e que, portanto,
begin{displaymath} psi(x,t)= rac{1}{2pi}left( rac{2alpha}{pi} ight)^{... ...dk e^{- rac{k^2}{4alpha}}e^{ikx}e^{- rac{ihbar k^2t}{2m}} nd{displaymath} (21)

 

(c) Agora, num esforço de reportagem, calcule a integral em Eq.(21). (Use a Eq.(20) trivialmente modificada). Você deve achar
begin{displaymath} psi(x,t)=left( rac{2alpha}{pi} ight)^{1/4}sqrt{ ra... ...alpha hbar t}} e^{- rac{alpha m}{m+2ialpha hbar t}x^2} nd{displaymath} (22)

 

(d)Verifique que a função de onda $psi(x,t)$ da Eq.(22)satisfaz a equação de Schrödinger para a partícula livre.

A derivada no tempo de um operador

Diremos que um operador $hat{dot{f}}$ é a derivada no tempo do operador $hat{f}$ se, sendo $langle hat{f} angle$ o valor médio de $hat{f}$ num estado arbitrário, e $langle hat{dot{f}} angle$ o valor médio de $hat{dot{f}}$ nesse mesmo estado, tivermos
begin{displaymath} rac{d}{dt}langle hat{f} angle = langle hat{dot{f}} angle nd{displaymath} (23)

 

Explicitando, devemos ter
begin{displaymath} rac{d}{dt}langle hat{f} angle = rac{d}{dt}int dq p... ... + int dq psi^* hat{f} rac{partial psi}{partial t} nd{displaymath} (24)

 

Usando a equação de Schrödinger , obtemos

 

begin{eqnarray*} rac{partial psi^*}{partial t} & = & rac{i}{hbar} hat... ...{partial psi}{partial t} & = & rac{-i}{hbar} hat{H} psi nd{eqnarray*}

 


 

Usando esses resultados em (24), temos
begin{displaymath} rac{d}{dt}langle hat{f} angle =int dq psi^* rac{p... ...{i}{hbar}int dq psi^* hat{f} left( hat{H} psi ight) nd{displaymath} (25)

 

O termo que contém a derivada parcial do operador só existe quando a expressão do operador contém parâmetros que dependam do tempo. Por exemplo, se tivéssemos uma partícula livre de massa variável, seu hamiltoniano seria
begin{displaymath} hat{H} = - rac{hbar ^2}{2 m(t)} ec{ abla}^2 nd{displaymath} (26)

 

e a derivada em questão seria dada por

 

begin{displaymath} rac{partial hat{H}}{partial t} = rac{hbar ^2}{2 m^2(t)} rac{dm}{dt} ec{ abla ^2} nd{displaymath}

 

Na grande maioria dos casos este termo é inexistente.
Voltando à Eq.(25), e usando o fato de que $hat{H}$ é hermiteano, temos
begin{displaymath} int dq left(hat{H}^* psi^* ight)hat{f}psi = int dq psi^* hat{H}hat{f}psi =int dq psi^* hat{H}hat{f}psi nd{displaymath} (27)

 

e, conseqüentemente,
begin{displaymath} rac{d}{dt}langle hat{f} angle = int psi^*left( ra... ...hbar}hat{H}hat{f} - rac{i}{hbar}hat{f}hat{H} ight)psi nd{displaymath} (28)

 

Como, por definição,

 

begin{displaymath} rac{d}{dt}langle hat{f} angle = int dq psi^* hat{dot{f}}psi nd{displaymath}

 

temos que
begin{displaymath} hat{dot{f}} = rac{partial hat{f}}{partial t} + rac{i}{hbar}left( hat{H}hat{f}-hat{f}hat{H} ight) nd{displaymath} (29)

 

Como dissemos, o caso mais importante é aquele em que $ rac{partial hat{f}} {partial t}=0$ (diz-se então que o operador não tem dependência explícita no tempo.) Neste caso,
begin{displaymath} hat{dot{f}}= rac{i}{hbar}left( hat{H}hat{f}-hat{f}hat{H} ight) nd{displaymath} (30)

 

Vemos então que, se $[hat{H},hat{f}]=0$, $hat{dot{f}}=0$, e
begin{displaymath} langle hat{f} angle = constante ;;. nd{displaymath} (31)

 

Na mecânica quântica, a constância de uma quantidade física no tempo quer dizer isto: que o valor médio dessa quantidade independe do tempo. Considere o operador $hat{H}$. Temos, evidentemente, que $[hat{H},hat{H}]=0$, logo, se $hat{H}$ não depende explicitamente do tempo,
begin{displaymath} hat{dot{H}} = rac{i}{hbar}[hat{H},hat{H}]=0 nd{displaymath} (32)

 

e $ rac{d}{dt}langle hat{H} angle =0$. A quantidade física associada ao hamiltoniano é a energia . Logo, a energia se conserva, na mecânica quântica.

Como $int ertpsi^2 ert dq =1$, sendo a integral estendida a todo o espaço, temos que
begin{displaymath} 0= rac{d}{dt}int dq ertpsi ert^2 = rac{d}{dt}int ... ...rtial t}psi + psi^* rac{partial psi}{partial t} ight) nd{displaymath} (33)

 

Eliminando as derivadas no tempo pelo uso da equação de Schrödinger , temos:

 

begin{eqnarray*} 0 = rac{i}{hbar}left( int dq psi hat{H}^* psi^* - i... ...& rac{i}{hbar}int psi^*left(hat{H}^+-hat{H} ight)psi nd{eqnarray*}

 


 

Segue então que $hat{H} = hat{H}^+$, ou seja, que $hat{H}$ é hermiteano.

 


O comutador de $hat{p}$ e $hat{q}$

Como $hat{p}_x=-ihbar rac{partial}{partial x}$, temos
begin{displaymath}[hat{x}, hat{p}_x]psi(x)=hat{x}(-ihbar) rac{partial ... ...}- (-ihbar) rac{partial}{partial x}left(xpsi(x) ight) nd{displaymath} (34)

 

 

que leva a
begin{displaymath}[hat{x}, hat{p}_x]psi(x)=ihbar psi(x) nd{displaymath} (35)

 

Logo, temos a igualdade entre operadores:
begin{displaymath}[hat{x},hat{p}_x]=ihbar hat{1} nd{displaymath} (36)

 

onde $hat{1}$ é o operador unidade, definido por
begin{displaymath} hat{1}psi = psi nd{displaymath} (37)

 

qualquer que seja $psi$.

Obviamente isto vale também para as outras componentes. Numa forma geral. temos:

begin{displaymath}[hat{p}_i, hat{q}_j]=-ihbar delta_{ij}hat{1} nd{displaymath}

 

 

 

 

 

 

 

 

Questões - Ondas

Velocidade de Propagação

1. O gráfico abaixo representa uma onda que se propaga com velocidade igual a 300m/s.

Determine:

a) a amplitude da onda;

A Amplitude da onda é dada pela distância da origem até a crista da onda, ou seja:

b) o comprimento de onda;

O comprimento de onda é dado pela distância entre duas cristas ou entre 3 nodos, ou seja:

Como a figura mostra a medida de três "meios-comprimento de onda", podemos calculá-lo:

c) a frequência;

Sabendo a velocidade de propagação e o comprimento de onda, podemos calcular a frequência através da equação:

Substituindo os valores na equação:

d) o período.

Como o período é igual ao inverso da frequência:

 

Refração das ondas

1. Uma agulha vibratória produz ondas com velocidade de propagação igual a 160m/s e comprimento de onda de 1mm, chegando em uma diferença de profundidade com um ângulo formado de 45° e sendo refratado. Após a mudança de profundidades o ângulo refratado passa a ser de 30°. Qual é a nova velocidade de progação da onda?

E o comprimento das ondas refratadas?

Utilizando a Lei de Snell:

Utilizando a relação com velocidades de propagação, chegamos a equação:

A velocidade da onda refratada será 113,1m/s.

Para calcular o comprimento de onda refratada, utilizamos a Lei de Snell, utilizando a relação com comprimentos de onda:

O comprimento da onda refratada será 0,7mm.

Repare que o resultado aparece em milímetros pois as unidades não foram convertidas para o SI no início da resolução.

 

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